阅读下列材料:在数学课上.老师请同学们思考下列问题:如图1.我们把一个四边形ABCD的四边中点E.F.G.H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?小敏在思考问题时.有如下思路:连接AC．点E.F分别是AB.BC的中点$\stackrel{三角形中位线定理}{→}$EF∥AC.EF=$\frac{1}{2}$AC,点H.G分别是AD.CD的中点$\stackrel{三角形中位线定� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．阅读下列材料：
在数学课上，老师请同学们思考下列问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E、F、G、H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC．
点E、F分别是AB、BC的中点$\stackrel{三角形中位线定理}{→}$EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC；
点H、G分别是AD、CD的中点$\stackrel{三角形中位线定理}{→}$HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC
→EF∥HG，EF=HG→四边形EFGH是平行四边形．
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．

分析（1）连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；
（2）①由三角形中位线定理得出FG=HG，即可得出结论；
②根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论

解答解：（1）四边形EFGH是平行四边形．理由如下：
如图2，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形；

（2）①当AC=BD时，四边形EFGH为菱形；
理由如下：连接BD．
由（1）得：FG=$\frac{1}{2}$BD，HG=$\frac{1}{2}$AC，
当AC=BD时，FG=HG，
∴四边形EFGH为菱形；
②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
理由如下：
同（1）得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH为矩形．