Question

17．如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，对称轴是直线x=-3，B（-1，0），F（0，1），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出抛物线顶点E的坐标，并判断AC与EF的位置关系，不需要说明理由．
注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-$\frac{b}{2a}$，顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）根据对称轴求抛物线的顶点E的坐标，利用待定系数法求直线AC和EF的解析式，由k相等可知：AC∥EF．

解答 解：（1）∵B（-1，0），抛物线的对称轴是直线x=-3，
∴A（-5，0），
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-25-5b+c=0}\\{-1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-6x-5；
（2）当x=-3时，y=-（-3）²-6×（-3）-5=4，
∴顶点E（-3，4），
当x=0时，y=-5，
∴C（0，-5），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-5，0）和C（0，-5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=0}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-x-5，
同理可得：直线EF的解析式为：y=-x+1，
∴AC∥EF．

点评 本题考查了利用待定系数法求抛物线和直线的解析式、一次函数的解析式中k的值确定两直线平行的位置关系、抛物线的顶点坐标，熟练掌握利用待定系数法求函数的解析式．