Question

8．已知平行于x轴的直线y=m（m≠0）与函数y=x和函数y=$\frac{1}{x}$的图象分别交于点A和点B，在过A，B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中，若线段AB=$\frac{3}{2}$，试求出满足条件的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 根据题意设$A（m，m），B（\frac{1}{m}，m）$，根据$AB=|{m-\frac{1}{m}}|=\frac{3}{2}$，求得${m_1}=-\frac{1}{2}$，m₂=2，m₃=-2，m₄=$\frac{1}{2}$，从而求得A（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），B（-2，-$\frac{1}{2}$）或A（2，2），B（$\frac{1}{2}$，2），根据顶点在直线y=x上的抛物线中，得出顶点坐标为为$（-\frac{5}{4}，-\frac{5}{4}）$，$（\frac{5}{4}，\frac{5}{4}）$，利用待定系数法即可求得解析式．

解答 解：由题得$A（m，m），B（\frac{1}{m}，m）$，
∴$AB=|{m-\frac{1}{m}}|=\frac{3}{2}$，
当m-$\frac{1}{m}$=$\frac{3}{2}$时，
解得${m_1}=-\frac{1}{2}$，m₂=2，
∴A（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），B（-2，-$\frac{1}{2}$）或A（2，2），B（$\frac{1}{2}$，2），
当m-$\frac{1}{m}$=-$\frac{3}{2}$时，
解得m₃=-2，m₄=$\frac{1}{2}$；
∴A（-2，-2），B（-$\frac{1}{2}$，-2）或A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（2，$\frac{1}{2}$），
当A（-2，-2），B（-$\frac{1}{2}$，-2）时，
顶点的横坐标为=$\frac{-2-\frac{1}{2}}{2}$=-$\frac{5}{4}$，
∵顶点在直线y=x上，
∴抛物线的顶点坐标为$（-\frac{5}{4}，-\frac{5}{4}）$；
A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（2，$\frac{1}{2}$），
同理：求得抛物线的顶点坐标为$（\frac{5}{4}，\frac{5}{4}）$；
∴抛物线的解析式为$y=±\frac{4}{3}{（x+\frac{5}{4}）^2}-\frac{5}{4}$或$y=±\frac{4}{3}{（x-\frac{5}{4}）^2}+\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意列出等式，求得顶点坐标是本题的关键．