Question

在△ABC中（∠B＞∠C），AD平分∠BAC，E是AD上的一动点，过点E作EF⊥BC于点F．
（1）当点E与点A重合时，如图（1），若∠B=65°，∠C=45°，求∠DEF的度数；
（2）∠B、∠C、∠DE（A）F之间有何关系？请探讨，并证明你的结论；
（3）点E沿AD运动，当点E在AD内或点E在AD的延长线上时（E与点A、D不重合），见图（2）与图（3），∠B、∠C、∠DEF之间还有类似的规律吗？选择其中一种情况证明．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形的性质，可得∠DEF=90°-∠C-

1

2

∠BAC，根据三角形的内角和定理，可得90°-∠C-

1

2

∠BAC=90°-∠C-

1

2

（180°-∠B-∠C），根据去括号，可得答案；
（2）根据直角三角形的性质，可得∠DEF=90°-∠C-

1

2

∠BAC，根据三角形的内角和定理，可得90°-∠C-

1

2

∠BAC=90°-∠C-

1

2

（180°-∠B-∠C），根据去括号，可得答案；
（3）根据直角三角形的性质，可得∠DEF=90°-∠ADF，根据三角形的内角和定理，可得90°-∠ADF=90°-∠C-

1

2

∠BAC，根据去括号化简，可得答案．

解答：解：（1）当点E与点A重合时，
∠DEF=90°-∠C-

1

2

∠BAC
=90°-∠C-

1

2

（180°-∠B-∠C）
=

1

2

（∠B-∠C）
=

1

2

（65°-45°）
=10°；
（2）∠DEF=

1

2

（∠B-∠C）
当点E与点A重合时，
∠DEF=90°-∠C-

1

2

∠BAC
=90°-∠C-

1

2

（180°-∠B-∠C）
=

1

2

（∠B-∠C）；
（3）有∠DEF═

1

2

（∠B-∠C），
当点E在AD内，
∠DEF=90°-∠ADF
=90°-∠C-

1

2

∠BAC
=90°-∠C-

1

2

（180°-∠B-∠C）
=

1

2

（∠B-∠C）．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，利用了三角形内角和定理，直角三角形的性质．