Question

11．如图．AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F为劣弧$\widehat{AD}$上一点，BF交CD于点G，过点F作⊙O的切线，交CD的延长线于H．
（1）求证：FH=GH；
（2）若AB=2FH=10，GF=2$\sqrt{5}$，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OF．由∠HFG+∠OFB=90°，OBF+∠EGB=90°，∠OBF=∠OFB，因为∠EGB=∠HGF，即可推出∠HGF=∠HFG解决问题．
（2）连接AF，作HK⊥FG于K．首先证明tan∠B=tan∠KHG=$\frac{KG}{HK}$=$\frac{1}{2}$，由tan∠B=$\frac{EG}{EB}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，设EG=a，则EB=2a，BG=$\sqrt{5}$a，BF=$\sqrt{5}$a+2$\sqrt{5}$，AF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a+$\sqrt{5}$，
在Rt△ABF中，根据AB²=AF²+BF²，列出方程10²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$a+$\sqrt{5}$）²+（$\sqrt{5}$a+2$\sqrt{5}$）²，求出a=2，推出EG=2，BE=4，AE=6，在Rt△AEG中，根据AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{2}}$计算即可．

解答 （1）证明：如图，连接OF．
∵HF是切线，
∴OF⊥FH，
∴∠OFH=90°，
∴∠HFG+∠OFB=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠BEG=90°，
∴∠OBF+∠EGB=90°，
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，∵∠EGB=∠HGF，
∴∠HGF=∠HFG，
∴FH=HG．

（2）解：连接AF，作HK⊥FG于K．
∵HF=HG，HK⊥FG，
∴FK=KG=$\sqrt{5}$，
∵AB=2FH=10，
∴HF=HG=5，
∴HK=$\sqrt{H{F}^{2}-F{K}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠BEG=∠HKG=90°，∠BGE=∠HGK，
∴∠EBG=∠KHG，
∴tan∠B=tan∠KHG=$\frac{KG}{HK}$=$\frac{1}{2}$，
∵tan∠B=$\frac{EG}{EB}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，设EG=a，则EB=2a，BG=$\sqrt{5}$a，BF=$\sqrt{5}$a+2$\sqrt{5}$，AF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a+$\sqrt{5}$，
在Rt△ABF中，∵AB²=AF²+BF²，
∴10²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$a+$\sqrt{5}$）²+（$\sqrt{5}$a+2$\sqrt{5}$）²，
∴a=2，
∴EG=2，BE=4，AE=6，
在Rt△AEG中，AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查切线的性质、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，学会用方程的首先思考问题，属于中考常考题型．