Question

17．已知二次函数的顶点是（2，-2），且图象与x轴的两个交点之间的距离是3，则这个二次函数的解析式是y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 用抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=2，根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（5，0），于是可设交点式y=a（x-5）（x+1），然后把顶点坐标代入求出a的值即可．

解答 解：∵二次函数图象的顶点为（2，-2），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵抛物线与x轴两点之间的距离为3，
∴抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（5，0）
设抛物线解析式为y=a（x-5）（x+1）（a≠0）．
把（2，-2）代入得a•（2-5）•（2+1）=-2，解得a=$\frac{1}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-5）（x+1）=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$．
故答案为：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．