Question

8．如图，函数y=-$\frac{4}{3}$x+8的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C在y轴上，AC平分∠OAB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在坐标平面内，且以A、B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）在函数解析式中分别令y=0和x=0，解相应方程，可求得A、B的坐标；
（2）过C作CD⊥AB于点D，由勾股定理可求得AB，由角平分线的性质可得CO=CD，则可用CO表示出△AOB面积，可求得CO，则可求得△ABC的面积；
（3）可设P（x，y），则可分别表示出AP²、BP²，分∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三种情况，分别可得到关于x、y的方程组，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{4}{3}$x+8中，令y=0可得0=-$\frac{4}{3}$x+8，解得x=6，令x=0，解得y=8，
∴A（6，0），B（0，8）；
（2）如图，过点C作CD⊥AB于点D，

∵AC平分∠OAB，
∴CD=OC，
由（1）可知OA=6，OB=8，
∴AB=10，
∵S_△AOB=S_△AOC+S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×6OC+$\frac{1}{2}$×10OC，解得OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×10×3=15；
（3）设P（x，y），则AP²=（x-6）²+y²，BP²=x²+（y-8）²，且AB²=100，
∵△PAB为等腰直角三角形，
∴有∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三种情况，
①当∠PAB=90°时，则有PA²=AB²且PA²+AB²=BP²，
即$\left\{\begin{array}{l}{（x-6）^{2}+{y}^{2}=100}\\{（x-6）^{2}+{y}^{2}+100={x}^{2}+（y-8）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=13}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
此时P点坐标为（13，6）或（-2，-6）；
②∠PBA=90°时，则有PB²=AB²且PB²+AB²=PA²，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-8）^{2}=100}\\{{x}^{2}+（y-8）^{2}+100=（x-6）^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=14}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-8}\\{y=2}\end{array}\right.$，
此时P点坐标为（8，14）或（-8，2）；
③∠APB=90°时，则有PA²=PB²且PA²+PB²=AB²，
即$\left\{\begin{array}{l}{（x-6）^{2}+{y}^{2}={x}^{2}+（y-8）^{2}}\\{（x-6）^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}+（y-8）^{2}=100}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=7}\end{array}\right.$，
此时P点坐标为（-1，-1）或（7，7）；
综上可知使△PAB为等腰直角三角形的P点坐标为此时P点坐标为（13，6）或（-2，-6）或（8，14）或（-8，2）或（-1，-1）或（7，7）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、勾股定理、三角形的面积、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论思想及方程思想等知识．在（1）不注意函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中利用角平分线的性质和等积法求得OC的长是解题的关键，在（3）中用P点坐标分别表示出PA、PB的长，由等腰直角三角形的性质得到关于P点坐标的方程组是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算较大，难度较大．