如图.抛物线L:y=ax2与直线y=kx相交于点A.抛物线L沿直线y=kx平移得到抛物线L1.当抛物线L1过点A时.交直线y=kx于点B．过点B作BC∥x轴交抛物线L于C.E两点．交抛物线L1于另一点D．(1)如图1.若a=1.k=1.①求OB的长,②求证:点D在y轴上,(2)如图2.若k=$\frac{1}{2}$时.不论a取何值.$\frac{BE}{DC}$的比值是否唯一确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．如图，抛物线L：y=ax²（a＞0）与直线y=kx相交于点A（点A在第一象限），抛物线L沿直线y=kx平移得到抛物线L₁，当抛物线L₁过点A时，交直线y=kx于点B．过点B作BC∥x轴交抛物线L于C、E两点（点C在第二象限）．交抛物线L₁于另一点D．
（1）如图1，若a=1，k=1，①求OB的长；②求证：点D在y轴上；
（2）如图2，若k=$\frac{1}{2}$时，不论a取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是否唯一确定？若是，请求出比值；若不是，请说明理由．
（3）不论a，k取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是否唯一确定？若是，请求出比值；若不是，请说明理由．

分析（1）先将a=1，k=1代入抛物线L的解析式和直线AB解析式中，进而确定出点A的坐标，再利用平移确定出抛物线L₁的解析式，抛物线L₁和直线AB解析式联立确定出点B的坐标，再利用BC∥x轴，把点B的纵坐标代入抛物线L₁中，确定出点D的坐标；
（2）先将k=$\frac{1}{2}$确定出直线AB的解析式，和抛物线L的解析式联立确定出点A的坐标，再利用平移确定出抛物线L₁的解析式，抛物线L₁和直线AB解析式联立确定出点B的坐标，再利用BC∥x轴，把点B的纵坐标代入抛物线L，L₁中，确定出点C、E和D的坐标；
（3）直接联立抛物线L的解析式和直线AB的解析式确定出点A的坐标，其余同（2）的方法．

解答解：（1）当a=1，k=1时，抛物线L的解析式为：y=x²①与直线AB的解析式为y=x②，
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（是原点）或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A（1，1），
∵抛物线L沿直线y=x平移得到抛物线L₁，当抛物线L₁过点A（1，1），
∴抛物线L₁解析式为y=（x-1）²+1③，
联立②③得，$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（x-1）^{2}+1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$（点A的坐标）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴B（2，2），
①∴OB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
②把y=2代入抛物线L₁解析式y=（x-1）²+1中，得，（x-1）²+1=2，
∴x=0或x=2（点B的横坐标），
∴D（0，2），
∴点D在y轴上；

（2）当k=$\frac{1}{2}$时，不论a取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是唯一确定，此值为（$\sqrt{2}$-1）．
理由：当k=$\frac{1}{2}$时，直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x④，
∵抛物线L的解析式为：y=ax²（a＞0）⑤，
联立④⑤得，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（原点）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2a}}\\{y=\frac{1}{4a}}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{4a}$），
∴抛物线L₁解析式y=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+$\frac{1}{4a}$⑥，
联立④⑥得，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2a}}\\{y=\frac{1}{4a}}\end{array}\right.$（点A的坐标）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{a}}\\{y=\frac{1}{2a}}\end{array}\right.$
∴B（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2a}$），
∵BC∥x轴，
∴把y=$\frac{1}{2a}$代入抛物线L₁解析式y=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+$\frac{1}{4a}$中，得x=0或x=$\frac{1}{a}$（点B的横坐标），
∴D（0，$\frac{1}{2a}$），
把y=$\frac{1}{2a}$代入抛物线L解析式y=ax²中，得x=±$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，
∴C（-$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，$\frac{1}{2a}$），E（$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，$\frac{1}{2a}$），
∴BE=$\frac{1}{a}$-$\frac{\sqrt{2}}{2a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2a}$，DC=0-（-$\frac{\sqrt{2}}{2a}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，
∴$\frac{BE}{DC}=\frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2a}}{\frac{\sqrt{2}}{2a}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1．
∴当k=$\frac{1}{2}$时，不论a取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是唯一确定，此值为（$\sqrt{2}$-1）．

（3）不论a，k取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是唯一确定，此值为（$\sqrt{2}$-1）．
理由：∵抛物线L：y=ax²⑦（a＞0）与直线y=kx⑧相交于点A（点A在第一象限），
∴联立⑦⑧得，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（原点坐标）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k}{a}}\\{y=\frac{{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{k}{a}$，$\frac{{k}^{2}}{a}$），
∵抛物线L沿直线y=kx平移得到抛物线L₁，当抛物线L₁过点A，
∴抛物线L₁的解析式为y=a（x-$\frac{k}{a}$）²+$\frac{{k}^{2}}{a}$=ax²-2kx+$\frac{2{k}^{2}}{a}$⑨，
联立⑧⑨得，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=a{x}^{2}-2kx+\frac{2{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k}{a}}\\{y=\frac{{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$（点A的坐标）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2k}{a}}\\{y=\frac{2{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$，
∴B（$\frac{2k}{a}$，$\frac{2{k}^{2}}{a}$），
∴BC∥x轴，把y=$\frac{2{k}^{2}}{a}$代入抛物线L₁解析式y=ax²-2kx+$\frac{2{k}^{2}}{a}$中，得x=0或x=$\frac{2k}{a}$（点B的横坐标），
∴D（0，$\frac{2{k}^{2}}{a}$），
把y=$\frac{2{k}^{2}}{a}$代入抛物线L解析式y=ax²中，得x=±$\frac{\sqrt{2}k}{a}$，
∴C（-$\frac{\sqrt{2}k}{a}$，$\frac{2{k}^{2}}{a}$），E（$\frac{\sqrt{2}k}{a}$，$\frac{2{k}^{2}}{a}$），
∴BE=$\frac{2k}{a}$-$\frac{\sqrt{2}k}{a}$=$\frac{（2-\sqrt{2}）k}{a}$，DC=0-（-$\frac{\sqrt{2}k}{a}$）=$\frac{\sqrt{2}k}{a}$，
∴$\frac{BE}{DC}=\frac{\frac{（2-\sqrt{2}）k}{a}}{\frac{\sqrt{2}k}{a}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1．
∴不论a，k取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是唯一确定，此值为（$\sqrt{2}$-1）．