Question

如图，△ABC中，∠BAC的平分线与边BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，试猜想线段AB，AE，CF之间的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：根据中垂线、角平分线的性质求出DE=DF，BD=DC，证明△DEB≌△DFC（SAS），推出BE=CF即可．

解答：答：AB=AE+CF，
证明：连接DB，
∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC；
在Rt△DCF与Rt△DBE中，

DE=DF DB=DC

，
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF=BE（全等三角形的对应边相等），
∴AB=AE+BE=AE+CF．

点评：本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质的应用，解此题的关键是求出Rt△DCF≌Rt△DBE．