Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，试探究BE²、CF²、EF²间的关系，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：首先把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG，可得△ACF≌△ABG．进而得到AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°，然后再证明△AEG≌△AFE可得EF=EG，再利用勾股定理可得结论．

解答：解：BE²+CF²=EF²，
理由是：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．

则△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
在△AEG和△AFE中，

AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE

，
∴△AEG≌△AFE（SAS）．
∴EF=EG，
又∠GBE=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，旋转的性质的应用，正确作出辅助线后证出△AEG≌△AFE是解此题的关键．