题目内容
3．（1）如图1，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点p是线段AC上一点，过点P作OB的平行线分别交直线AB、BC于点M、N，若AP=3，OB=5，则PM=3，PN=7；（2）如图2，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AC上（不包括点A、O、C）的任意一点，过点P作OB的平行线交直线AB、BC于点M、N．
①请你猜想线段PM、PN和OB之间的数量关系，并证明你的结论；
②如果点P是线段AC延长线上任意一点，其他条件都不变，那么线段PM、PN和OB之间有怎样的数量关系？请你在图3中画出图形，直接写出结论．
分析 （1）如图1，由正方形的性质就可以得出AO=BO=CO=DO=5，∠AOB=∠BOC=90°．∠ACB=∠BAC=45°，由平行线的性质就可以求出PM的值，由等腰三角形的性质就可以求出PN的值；
（2）如图2，延长NP交AD于G，就可以得出四边形GNBD是平行四边形，就有NG=BD，再证明PM=PG就可以得出结论；
（3）作BG⊥MN于G，由菱形的性质就可以得出BM=BN．根据等腰三角形的性质就可以得出MG=NG，从而得出四边形BGPO为矩形，由矩形的性质就可以得出结论．
解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO=CO=DO，∠AOB=∠BOC=90°．∠ACB=∠BAC=45°．
∵PM∥OB，
∴△AMP∽△ABO，∠NPC=∠BOC=90°，
∴∠N=45°，
∴∠N=∠ACB，
∴PN=PC．
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{MP}{BO}$，
∵AP=3，OB=5，
∴AO=5，PO=2，
∴PC=7．
∴PN=7
∴$\frac{3}{5}=\frac{PM}{5}$，
∴PM=3．
故答案为：3，7；
（2）PM+PN=2OB．
理由：如图2，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAC=∠DAC，∠AOB=∠AOD=90°，BD=2BO．
∵PM∥OB，
∴∠APM=∠APG=90°．
在△APM和△APG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAC}\\{AP=AP}\\{∠APM=∠APG}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△APG（ASA），
∴PM=PG．
∴PM+PN=PG+PN=NG．
∵PN∥BO，AD∥BC，
∴四边形NBDG是平行四边形，
∴NG=BD，
∴NG=2BO，
∴PM+PN=2BO；
（3）PM-PN=2BO．
理由：如图3，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD，∠AOB=∠AOD=∠POB=90°，BD=2BO．
∵PM∥OB，
∴∠APM=∠APG=90°．∠CBD=∠BNP，∠ADB=∠M，
∴∠BNP=∠M，
∴BM=BN．
作BG⊥MN于G，
∴∠BGP=90°，MG=NG．
∴∠POB=∠APG=∠BGP=90°，
∴四边形BGPO是矩形，
∴GP=BO．
∵GP=GN-PN，
∴OB+GP=MG-PN+GP，
∴0B+OB=MP-PN，
∴MP-PN=2OB．
点评 本题考查了正方形的性质的运用，平行线的性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定与性质的运用，矩形的判定与性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时运用平行四边形的性质求解是关键．
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如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，若△COD的面积为6，则△ABD的面积12．
如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动（E不与B、C重合），且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
