题目内容

15．给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称：矩形和直角梯形；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4）．请画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边，且对角线相等的勾股四边形OAMB；
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，已知∠DCB=30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．

分析 （1）根据定义和勾股四边形的性质，有矩形或正方形或直角梯形满足题意；
（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个：M（3，4）或M（4，3）．
（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形．

解答 解：（1）由题意可得：矩形、正方形、直角梯形均是勾股四边形．

（2）如图1所示：

点M的坐标为（3，4）或（4，3）．

（3）连接CE，如图2所示：
，
由旋转的性质可得：AC=DE，BC=BE，∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∵∠DCB=30°，∠BCE=60°，
∴∠DCE=90°，
∴△DCE是直角三角形，
∴DC2+CE2=DE2，
即DC2+CE2=AC2，
∴四边形ABCD是勾股四边形．

点评 本题考查了四边形的综合，解答本题的关键是仔细审题，了解勾股四边形的定义及性质，难点在第三问，注意等量代换法的应用．

练习册系列答案
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