Question

4．如图，已知等边△ABC，AE=BD，CE，AD交于点F，过点B作BG∥CE，BG交AD的延长线于点G，求证：BG+DF=CE．

Answer 1

分析 先证△ABD≌△CAE得CE=AD、∠AEC=∠ADB，进而有∠BDG=∠AEH，再证△GBD≌△HAE得BG=AH、∠H=∠G，由BG∥CE知∠G=∠CFG=∠AFH=∠H，从而得出AH=AF=BG，即可得证．

解答 证明：如图，作∠HAE=∠GBD，交CE延长线与点H，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABD=∠CAE=60°，
在△ABD和△CAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴CE=AD，∠AEC=∠ADB，
∵∠BDG=180°-∠ADB，∠AEH=180°-∠AEC，
∴∠BDG=∠AEH，
在△GBD和△HAE中，
∵∴$\left\{\begin{array}{l}{∠GBD=∠HAE}\\{BD=AE}\\{∠BDG=∠AEH}\end{array}\right.$，
∴△GBD≌△HAE（ASA），
∴BG=AH，∠H=∠G，
∵BG∥CE，
∴∠G=∠CFG=∠AFH=∠H，
∴AH=AF=BG，
故CE=AD=AF+DF=BG+DF，
即CE=BG+DF．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线将待证的线段用全等三角形联系到一起是关键．