Question

9．如图，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C（2，-2），CA、CB分别交坐标轴于D、E，CA⊥AB，且CA=AB．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接DE，求证：BD-AE=DE；
（3）如图3，若点F为（4，0），点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN=PF，连接PO、BN，过P作∠OPG=45°交BN于点G，求证：点G是BN的中点．

Answer 1

分析 （1）作CM⊥x轴于M，求出CM=CN=2，证△BAO≌△ACM，推出AO=CM=2，OB=AM=4，即可得出答案；
（2）在BD上截取BF=AE，连AF，证△BAF≌△CAE，证△AFD≌△CED，即可得出答案．
（3）作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，只要证明四边形ENPB是平行四边形就可以了．

解答 解：（1）作CM⊥x轴于M，
∵C（2，-2），
∴CM=2，OM=2，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠BAO=∠ACM，
在△BAO和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ACM}\\{∠AOB=∠CMA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△ACM，
∴AO=CM=2，OB=AM=AO+OM=2+2=4，
∴B（0，4）．

（2）证明：在BD上截取BF=AE，连AF，
∵△BAO≌△CAM，
∴∠ABF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠CAE}\\{BF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF=CE，∠ACE=∠BAF=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠FAD=45°=∠ECD，
由（1）可知OA=OM，OD∥CM，
∴AD=DC，（图1中），
在△AFD和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠FAD=∠ECD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE=DF，
∴BD-AE=DE；
（3）如图3，作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，
∵∠EOP=90°，∠EPO=45°，
∴∠OEP=∠EPO=45°，
∴EO=PO，
∵∠EOP=∠BOF=90°，
∴∠EOB=∠POF，
在△EOB和△POF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=OF}\\{∠EOB=∠POF}\\{OE=OP}\end{array}\right.$，
∴△EOB≌△POF，
∴EB=PF=PN，∠1=∠OFP，
∵∠2+∠PMO=180°，
∵∠MOF=∠MPF=90°，
∴∠OMP+∠OFP=180°，
∴∠2=∠OFP=∠1，
∴EB∥PN，
∵EB=PN，
∴四边形ENPB是平行四边形，
∴BG=GN，
即点G是BN中点．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及等角的余角相等，第三个问通过辅助线构造平行四边形是解决问题的关键．