Question

如图所示，AB，AC为⊙O的两弦，D为

AB

的中点，E为

AC

的中点，连接DE，交AB于M，交AC于N．请说明AM与AN的关系．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系

专题：常规题型

分析：连结OD、OE，如图，根据垂径定理的推理，由D为

AB

的中点，E为

AC

的中点得到OD⊥AB，OE⊥AC，则∠D+∠DMB=90°，∠E+∠3=90°，加上∠D=∠E，易得∠DMB=∠3，再根据对顶角相等得∠DMB=∠1，∠3=∠2，所以∠1=∠2，则根据等腰三角形的判定即可得到AM=AN．

解答：解：连结OD、OE，如图，
∵D为

AB

的中点，E为

AC

的中点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠D+∠DMB=90°，∠E+∠3=90°，
∵OD=OE，
∴∠D=∠E，
∴∠DMB=∠3，
∵∠DMB=∠1，∠3=∠2，
∴∠1=∠2，
∴AM=AN．

点评：本题考查了垂径定理：灵活应用垂径定理及其推理．也考查了等腰三角形的判定与性质．