题目内容
4．
如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将$\widehat{CD}$沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，链接PC．（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为$\widehat{ADB}$的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交$\widehat{BC}$于点F（F与B、C不重合）．问GE?GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
分析 （1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；
（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AG}{GE}$=$\frac{FG}{AG}$，从而得到GE•GF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
解答 
（1）解：如图，连接OC，
∵$\widehat{CD}$沿CD翻折后，点A与圆心O重合，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×2=1，CD⊥OA，
∵OC=2，
∴CD=2CM=2$\sqrt{O{C}^{2}-O{M}^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
（2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，∠CMP=∠OMC=90°，
∴PC=$\sqrt{M{C}^{2}+P{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵OC=2，PO=2+2=4，
∴PC2+OC2=（2$\sqrt{3}$）2+22=16=PO2，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（3）解：GE•GF是定值，证明如下，
连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF
∵点G为$\widehat{ADB}$的中点
∴∠GOE=90°，
∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴$\frac{OG}{GF}$=$\frac{GE}{GH}$
∴GE•GF=OG•GH=2×4=8．
点评 本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．
| A． | 抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上 | |
| B． | 抛掷2枚硬币，朝上的都是反面 | |
| C． | 从只装有红球的袋子中摸出白球 | |
| D． | 从只装有红、篮球的袋子中摸出篮球 |
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线．
如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BOC与∠BAC互补，则弦BC的长为2$\sqrt{3}$．
如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=1，OC=$\frac{1}{2}$，在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB放大为原来的$\frac{3}{2}$倍，得到矩形A1OC1B1，再以原点O为位似中心将矩形
如图，在△ABC中，AC=3cm，∠ACB=90°，∠ABC=60°，将△ABC绕点B顺时针旋转至△A′BC′，点C′在直线AB上，则边AC扫过区域（图中阴影部分）的面积为3π cm2．