Question

13．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=1，OC=$\frac{1}{2}$，在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB放大为原来的$\frac{3}{2}$倍，得到矩形A₁OC₁B₁，再以原点O为位似中心将矩形
OC₁B₁放大为原来的$\frac{3}{2}$倍，得到矩形A₂OC₂B₂…，以此类推，得到的矩形A₁₀₀OC₁₀₀B₁₀₀的对角线交点的纵坐标为$\frac{{3}^{100}}{{2}^{102}}$．

Answer 1

分析 根据题意确定点B的坐标，根据矩形的性质求出矩形AOCB的对角线交点的坐标，根据位似变换的性质求出矩形A₁OC₁B₁的对角线交点的纵坐标，根据规律解答．

解答 解：∵OA=1，OC=$\frac{1}{2}$，
∴点B的坐标为（-1，$\frac{1}{2}$），
∴矩形AOCB的对角线交点的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
则矩形A₁OC₁B₁的对角线交点的纵坐标为$\frac{1}{4}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{8}$=$\frac{{3}^{1}}{{2}^{3}}$，
则矩形A₁₀₀OC₁₀₀B₁₀₀的对角线交点的纵坐标为$\frac{{3}^{100}}{{2}^{102}}$，
故答案为：$\frac{{3}^{100}}{{2}^{102}}$．

点评 本题考查的是位似变换的概念和性质、矩形的性质以及图形与坐标的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．