Question

已知：（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式．求证：a=b=c．

Answer 1

考点：完全平方数

专题：

分析：根据已知把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得原式=3x²+2（a+b+c）x+ab+ac+bc，再利用它是完全平方式，故△=0，进而得出关于a，b，c的方程，进而求出即可．

解答：证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得
原式=3x²+2（a+b+c）x+ab+ac+bc，
∵它是完全平方式，
∴△=0．
即4（a+b+c）²-12（ab+ac+bc）=0．
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0，
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0．
要使等式成立，必须且只需：

a-b=0 b-c=0 c-a=0

解这个方程组，得a=b=c．

点评：此题主要考查了完全平方数以及方程组解法，根据题意得出关于a，b，c的方程组是解题关键．