Question

20．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在弧$\widehat{AB}$上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，探究线段DE、BE、AE之间满足的等量关系并说明理由；
（3）如图②，若点E在弧$\widehat{AD}$上，写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）

Answer 1

分析 （1）中易证AD=AB，EB=DF，所以只需证明∠ADF=∠ABE，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；
（2）DE-BE=$\sqrt{2}$AE，易证△AEF是等腰直角三角形，所以EF=$\sqrt{2}$AE，所以只需证明DE-BE=EF即可，由BE=DF不难证明此问题；
（3）BE-DE=$\sqrt{2}$AE，类比（2）的思路不难得出的结论．

解答 解：
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵∠1和∠2都对$\widehat{AE}$，
∴∠1=∠2，
在△ADF和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠1=∠2}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）DE-BE=$\sqrt{2}$AE，理由如下：
由（1）有△ADF≌△ABE，
∴AF=AE，∠3=∠4．
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠3=90°．
∴∠BAF+∠4=90°．
∴∠EAF=90°．
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF²=AE²+AF²．
∴EF²=2AE²．
∴EF=$\sqrt{2}$AE．
即DE-DF=$\sqrt{2}$AE．
∴DE-BE=$\sqrt{2}$AE．

（3）BE-DE=$\sqrt{2}$AE．理由如下：
在BE上取点F，使BF=DE，连接AF．
易证△ADE≌△ABF，
∴AF=AE，∠DAE=∠BAF．
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠DAF=90°．
∴∠DAE+∠DAF=90°．
∴∠EAF=90°．
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF²=AE²+AF²．
∴EF²=2AE²．
∴EF=$\sqrt{2}$AE．
即BE-BF=$\sqrt{2}$AE．
∴BE-DE=$\sqrt{2}$AE．

点评 本题主要考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有圆周角定理、全等三角形的判定及勾股定理、等腰直角三角形的判断和性质，难度适中，熟记和圆有关的各种性质定理和判断定理是解题的关键．