Question

如图，在锐角△ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交△ABC的外接圆于点D．
证明：四边形AMDN与△ABC的面积相等．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,四点共圆

专题：证明题

分析：根据FM⊥AB，FN⊥AC，得到A，M，D，N四点共圆，得到MN⊥AD，再用两角对应相等证明两三角形相似，利用相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等证明四边形的面积与三角形的面积相等．

解答：证明：如图：连接BD，
∵FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，
∴A，M，F，N四点共圆，
∴∠AMN=∠AFN，
∴∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°，
即MN⊥AD，
∴S_{四边形AMDN}=

1

2

AD•MN，
∵∠CAF=∠DAB，∠ACF=∠ADB，
∴△AFC∽△ABD，
∴AF：AB=AC：AD，
∴AB•AC=AD•AF，
∵AF是过A、M、F、N四点的圆的直径，
∴

MN

sin∠BAC

=AF，
∴AF•sin∠ABC=MN，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC•sin∠BAC=

1

2

AD•AF•sin∠BAC=

1

2

AD•MN=S_{四边形AMDN}．
∴S_△ABC=S_{四边形AMDN}．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据两角对应相等可以得到两组相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，得到线段乘积的形式，证明四边形的面积与三角形的面积相等．