Question

13．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S₁，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂，…，按照此规律继续下去，则S₉的值为（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$）⁶
• B． （$\frac{1}{2}$）⁷
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁶
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁷

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得出S₂+S₂=S₁，写出部分S_n的值，根据数的变化找出变化规律“S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-3”，依此规律即可得出结论．

解答 解：在图中标上字母E，如图所示．

∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE²+CE²=CD²，DE=CE，
∴S₂+S₂=S₁．
观察，发现规律：S₁=2²=4，S₂=$\frac{1}{2}$S₁=2，S₃=$\frac{1}{2}$S₂=1，S₄=$\frac{1}{2}$S₃=$\frac{1}{2}$，…，
∴S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-3．
当n=9时，S₉=（$\frac{1}{2}$）^9-3=（$\frac{1}{2}$）⁶，
故选：A．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S_n的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．