Question

5．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．
（1）求证：OE=OF．
（2）连接DE、BF，试说明四边形BFDE是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，又由∠AOE=∠COF，易证得△OAE≌△OCF，则可得OE=OF；
（2）利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE=DF，BE∥DF，进而得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴OE=OF；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
又∵△OAE≌△OCF（ASA），
∴AE=FC，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，得出△OAE≌△OCF是解题关键．