Question

13．已知实数m，n满足m²-6m+4=0，$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{6}{n}$+4=0，且mn≠1，则$\frac{{m}^{2}}{n}$+$\frac{m}{{n}^{2}}$+1=25．

Answer 1

分析 先利用m²-6m+4=0，$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{6}{n}$+4=0，且mn≠1可把m、$\frac{1}{n}$看作x²-6x+4=0的两实数根，则利用根与系数的关系得到m+$\frac{1}{n}$=6，m•$\frac{1}{n}$=4，然后利用整体代入的计算原式的值．

解答 解：∵m²-6m+4=0，$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{6}{n}$+4=0，且mn≠1，
∴m、$\frac{1}{n}$可看作x²-6x+4=0的两实数根，
∴m+$\frac{1}{n}$=6，m•$\frac{1}{n}$=4，
∴原式=m•m•$\frac{1}{n}$+m•$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{n}$+1
=4m+4•$\frac{1}{n}$+1
=4（m+$\frac{1}{n}$）+1
=4×6+1
=25．
故答案为25．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$