Question

1．直角坐标系中，A，B，C，D四点的坐标依次为A（-1，0），B（a，b），C（-1，4），D（c，d）．
（1）当点D在y轴上，且四边形ABCD是菱形时，求点B的坐标；
（2）若以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形，写出所有满足条件b≥d的点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质结合点A、C的坐标即可得出点D的坐标，进而即可得出点B坐标；
（2）分以AC为边和以AC为对角线两种情况考虑，根据正方形的判定即可得出b的值以及关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出a的值，由此即可得出点B的坐标．

解答 解：（1）依照题意画出图形，如图1所示．

∵点D（c，d）在y轴上，且A（-1，0），C（-1，4），四边形ABCD是菱形，
∴c=0，d=$\frac{0+4}{2}$=2，
∴a=-1×2-0=-2，b=0+4-2=2，
∴点B的坐标为（-2，2）．
（2）依据题意画出图形，如图2所示．

∵b≥d，
∴点B不在点D的下方．
以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形分两种情况：
①当AC为正方形的边时，有|a-（-1）|=4-0，且b=4，
解得：a=3或a=-5，
此时点B的坐标为（-5，4）或（3，4）；
②当AC为正方形对角线时，有|a-（-1）|=$\frac{4-0}{2}$=2，b=$\frac{0+4}{2}$=2，
解得：a=1或a=-3，
此时点B的坐标为（-3，2）或（1，2）．
综上可知：若以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形，且b≥d时，点B的坐标为（-5，4）、（3，4）、（-3，2）或（1，2）．

点评 本题考查了正方形的判定以及菱形的性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质找出点D的坐标；（2）分以AC为边和以AC为对角线两种情况考虑．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．