如图1直角梯形ABCD中.∠ABC=90°.AB∥CD.AB=8.CD=3.BC=$\frac{5}{2}$.在Rt△EFG中.∠GEF=90°.EF=3.GE=6.将△EFG与直角梯形ABCD如图(2)摆放.使E与A重合.EF与AB重合.△EFG与梯形ABCD在直线AB的同侧.现将△EFG沿射线AB向右以每秒1个单位的速度平移.当点C落在线段FG上时停止运动.在平移过程中.设� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图1直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=8，CD=3，BC=$\frac{5}{2}$，在Rt△EFG中，∠GEF=90°，EF=3，GE=6，将△EFG与直角梯形ABCD如图（2）摆放，使E与A重合，EF与AB重合，△EFG与梯形ABCD在直线AB的同侧，现将△EFG沿射线AB向右以每秒1个单位的速度平移，当点C落在线段FG上时停止运动，在平移过程中，设△EFG与梯形ABCD的重叠部分面积为S，运动时间为t秒（t≥0）．
（1）求出GF边经过点D时的时间t；
（2）若在△GEF运动过程中，设△GEF与梯形ABCD的重叠部分面积为S，请写出S与t的函数关系式；
（3）如图3，当点C在线段GF上时，将此时的△EFG沿FG翻折，得到△HFG，将△HFG绕点F旋转，在旋转过程中，设直线HG与射线AD交于点M，与射线AB交于点N，是否存在钝角△AMN为等腰三角形？若存在，求出此时AN的长；若不存在，说明理由．

分析（1）作垂线构建平行线，想办法求出AE的长，就是t的值；先根据三角函数值求GE的长，再利用平行线分线段成比例得比例式求FH的长，从而可以求EH的长，所以AE=AH-EH，得出结论；
（2）分三种情况讨论：①当0＜t≤$\frac{13}{4}$时，如图2，作辅助线，构建高线，重叠部分的面积S=S_△AFM-S_△AEP，计算即可；②当$\frac{13}{4}$＜t≤5时，如图3，重叠部分是五边形PENMD．③当5＜t≤$\frac{25}{4}$时，如图4中，重叠部分是五边形PEBGM，分别求解即可解决问题．
（3）分三种情况进行讨论，分别以A、M、N为顶角构成等腰三角形，要满足钝角三角形的有两种，分别求出AN的长即可．

解答解：（1）如图1中，

∵四边形DHBC为矩形，
∴AH=AB-CD=8-3=5，
在Rt△EFG中，∵EF=3，GE=6，
∵DH∥GE，
∴$\frac{DH}{GE}$=$\frac{FH}{EF}$，
∴$\frac{5}{2}$=$\frac{6}{FH}$，
∴FH=$\frac{5}{4}$，
∴EH=EF=FH=3-$\frac{5}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴AE=AH-EH=5-$\frac{7}{4}$=$\frac{13}{4}$，
∴当点D落在线段FG上时t=$\frac{13}{4}$；

（2）①当0≤t≤$\frac{13}{4}$时，如图2，过M作MN⊥AB于N，过D作DH⊥AB于H，

由MN∥EG，得到$\frac{FN}{MN}=\frac{EF}{EG}$=$\frac{1}{2}$，
设FN=x，则MN=2x，
∵MN∥DH，
∴$\frac{MN}{DH}$=$\frac{AN}{AH}$，
∴$\frac{2x}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3+t-x}{5}$，
∴x=$\frac{3+t}{5}$，
∴MN=$\frac{2（3+t）}{5}$，
由题意得：$\frac{DH}{AH}$=$\frac{PE}{AE}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{5}$=$\frac{PE}{t}$，
∴PE=$\frac{1}{2}$t，
∴S=S_△AFM-S_△AEP，
=$\frac{1}{2}$•AF•MN-$\frac{1}{2}$•AE•EP，
=$\frac{1}{2}$•（3+t）•$\frac{2（3+t）}{5}$-$\frac{1}{2}$•t•$\frac{1}{2}$t，
=-$\frac{1}{20}$t²+$\frac{6}{5}$t+$\frac{9}{5}$．
②当$\frac{13}{4}$＜t≤5时，如图3中，重叠部分是五边形PENMD，过N作NH⊥AB于H，

∵MN∥EG，
∴$\frac{MN}{EG}$=$\frac{NF}{EF}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{6}$=$\frac{FN}{3}$，
∴FN=$\frac{5}{4}$，
∴CM=BN=$\frac{5}{4}$+（8-t-3）=$\frac{25}{4}-t$，
∴S=S_梯形ABCD-S_△APE-S_梯形BCMF=$\frac{1}{2}$•（3+8）$•\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$•t•$\frac{1}{2}$•t-$\frac{1}{2}$•（8-t-3+$\frac{25}{4}$-t）•$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{5}{2}$t-$\frac{5}{16}$．
③当5＜t≤$\frac{25}{4}$时，如图4中，重叠部分是五边形PEBGM，

此时S=S_△EGF-S_△PMG-S_△BFG=$\frac{1}{2}$×6×3-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{2}$×（3+t-8）×2（3+t-8）=-t²+10t-$\frac{305}{16}$．
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{20}{t}^{2}+\frac{6}{5}t+\frac{9}{5}}&{（0≤t≤\frac{13}{4}）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{2}+\frac{5}{2}t-\frac{5}{16}}&{（\frac{13}{4}＜t≤5）}\\{-{t}^{2}+10t-\frac{305}{16}}&{（5＜t≤\frac{25}{4}）}\end{array}\right.$．

（3）①当AM=MN时，钝角△AMN为等腰三角形，如图5，

∴∠MAN=∠MNA，
在Rt△FHN中，∵FH=3，
tan∠MNA=tan∠MAN=$\frac{1}{2}$，
∴NH=6，
∴FN=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$，
∴AN=AB+BF+FN=8+$\frac{5}{4}$+3 $\sqrt{5}$=$\frac{37}{4}$+3$\sqrt{5}$；
②当AN=MN时，钝角△AMN为等腰三角形，如图6，

∴∠DAB=∠AMN，
∵tan∠G=tan∠DAB $\frac{1}{2}$，
∴∠G=∠DAB，
∴∠G=∠AMN，
∴AM∥FG，
∴∠DAB=∠NFG，
∴∠G=∠NFG，
∴GN=FN，
设FN=x，则NG=x，EN=6-x，
在Rt△NEF中，则勾股定理得：3²+（6-x）²=x²，
解得：x=$\frac{15}{4}$，
∴AN=AB+BF-FN=8+$\frac{5}{4}$-$\frac{15}{4}$=$\frac{11}{2}$．；
③当AM=AN时，如图7，△AMN不是钝角三角形；

综上所述：当AN=$\frac{37}{4}$+3$\sqrt{5}$或$\frac{11}{2}$时，△AMN为钝角等腰三角形．

点评本题是几何变换的综合题，考查了直角梯形、直角三角形的性质，以△EFG运动为主，弄清运动的路径，从△EFG运动的特殊位置入手，正确画出图形，并怀相似和三角函数相结合，表示边的长或求出边的长；对于求重叠部分的面积，也是先分析特殊位置时的重叠部分，再分情况进行讨论，得出结论．

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