如图.Rt△ABO的两直角边OA.OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上.O为坐标原点.A.B两点的坐标分别为.抛物线y=$\frac{2}{3}$x2+bx+c经过点B.且顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上．(1)求抛物线的解析式,(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE.点A.B.O的对应点分别是D.C.E．当四边形ABCD是菱形时.试判断点C和点D是否在该抛物线上.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c经过点B，且顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E．当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
（4）在（2）、（3）的条件下，点M从O点出发，在线段OB上以每秒2个OD长度的速度向B点运动，同时点Q 从O点出发，在线段OD上以每秒1个单位长度的速度向D点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，求运动多少秒使△PMN的面积最大，最大面积是多少？

分析（1）把C点坐标代入y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c得到c=4，利用对称轴方程可求出b=-$\frac{10}{3}$，从而可得到抛物线解析式；
（2）先利用勾股定理计算出AB=5，则根据菱形的性质和平移的性质可得C（5，4），D（2，0），然后根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点C和点D都在所求抛物线上；
（3）根据抛物线的对称性可得点B与点C为抛物线上的对称点，CD交对称轴交于点P，根据两点之间线段最短可得到此时的P点可使△PBD的周长最小，接着利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
然后计算直线CD与直线x=$\frac{5}{2}$的交点坐标即可得到P点坐标；
（4）设对称轴交x轴于点F，运动时间为t秒，则OM=4t．ON=t，根据梯形面积公式和三角形面积公式，利用S_△PMN=S_梯形OMPF-S_△OMN-S_△PFN可得S_△PMN=-2t²+$\frac{16}{3}$t，然后根据二次函数的性质求出0≤t≤1时S的最大值．

解答解：（1）∵抛物线y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c经过B（0，4），
∴c=4，
∵顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上，
∴-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{3b}{4}$=$\frac{5}{2}$，解得b=-$\frac{10}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+4；
（2）点C和点D在该抛物线上．理由如下：
在Rt△ABO中，∵OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C（5，4），D（2，0），
当x=5时，y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+4=$\frac{2}{3}$×5²-$\frac{10}{3}$×5+4=4，
当x=2时，y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+4=$\frac{2}{3}$×2²-$\frac{10}{3}$×2+4=0，
∴点C和点D都在所求抛物线上；
（3）如图1，∵BC∥x轴，
∴点B与点C为抛物线上的对称点，
连结CD，CD交对称轴交于点P，则PB+PD=PC+PD=CD，则此时PB+PD最小，所以△PBD的周长最小，
设直线CD的解析式为y=kx+p，
把C（5，4），D（2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{5k+p=4}\\{2k+p=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{p=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
当x=$\frac{5}{2}$时，y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$×$\frac{5}{2}$-$\frac{8}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴P点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{2}{3}$）；
（4）设对称轴交x轴于点F，运动时间为t秒，则OM=4t．ON=t，
S_△PMN=S_梯形OMPF-S_△OMN-S_△PFN
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}$+4t）×$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$×4t×t-$\frac{1}{2}$×（$\frac{5}{2}$-t）×$\frac{2}{3}$
=-2t²+$\frac{16}{3}$t
二次函数的对称轴为直线t=-$\frac{\frac{16}{3}}{2×（-2）}$=$\frac{4}{3}$，
而0≤t≤1，
∴当t=1时，S最大，最大值=-2+$\frac{16}{3}$=$\frac{10}{3}$．