Question

20．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．
（1）当点B与点D重合时，求t的值；
（2）当t为何值时，S_△BCD=$\frac{25}{4}$？

Answer 1

分析 （1）由于∠CAB=90°，易证得Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值．
（2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上．

解答 解：（1）∵∠CAO+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CAO=∠ABE．
∴Rt△CAO∽Rt△ABE．
∴$\frac{CA}{CB}=\frac{AO}{BE}$．
∴$\frac{2AB}{AB}=\frac{t}{4}$．
∴t=8．
（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE=$\frac{1}{2}$t，AE=2．
当0＜t＜8时，S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•BD=$\frac{1}{2}$（2+t）（4-$\frac{t}{2}$）=$\frac{25}{4}$．
∴t₁=t₂=3．
当t＞8时，S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•BD=$\frac{1}{2}$（2+t）（$\frac{t}{2}$-4）=$\frac{25}{4}$．
∴${t}_{1}=3+5\sqrt{2}$，${t}_{2}=3-5\sqrt{2}$（为负数，舍去）．
当t=3或3+5$\sqrt{2}$时，${S}_{△BCD}=\frac{25}{4}$．

点评 考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，解决本题的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．