Question

2．如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F．
（1）求证：OF=$\frac{1}{2}$BD；
（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线定理可得BC=2OF=2，再利用垂径定理可得$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，推出BD=BC，即可解决问题．
（2）连接OC，利用弧长公式求出弧AC，再求出弓形的面积即可．

解答 解：（1）∵OF⊥AC，
∴AF=FC，
∵OA=OB，
∴BC=2OF，
∵AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$BD．

（2）连接OC，则OC=OA=OB，
∵∠D=30°，$\widehat{BC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠COB=2∠A=60°
∴∠AOC=120°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=1，
∴AB=2，AC=$\sqrt{3}$，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵OA=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$AC•OF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
S_扇形AOC=$\frac{1}{3}$π×OA²=$\frac{π}{3}$，
∴S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形30度角性质、扇形的面积公式、弓形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．