Question

17．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3，CD=$2\sqrt{6}$，AD=$\sqrt{6}$，且∠B=90°，∠D=60°，求∠BCD的度数．

Answer 1

分析 连接AC，由于∠B=90°，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=$2\sqrt{6}$，AD=$\sqrt{6}$，易得AC²+AD²=CD²，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，根据直角三角形的性质可求∠DCA，从而易求∠BCD．

解答 解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，∠BAC=∠BCA=45°，
又∵CD=$2\sqrt{6}$，AD=$\sqrt{6}$
∴AC²+AD²=18+6=24，CD²=24，
∴AC²+AD²=CD²，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴∠DCA=90°-∠D=30°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=75°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．