Question

6．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E在AB上，EF⊥DC于点F，在边AD，DF，EF，AE上分别存在点M，N，P，Q，这四点构成的四边形与矩形BCFE全等，则DM的长度为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 设DM=x，DN=y，则AM=4-x，根据题意得出四边形MNPQ≌矩形BCFE，得出△AMQ≌△FPN，PN=FC，MN=BC=4，∠MNO=∠PFN=∠D=90°，得出AM=FP=4-x，证明△DMN∽△FNP，得出对应边成比例$\frac{DM}{FN}=\frac{DN}{PF}=\frac{MN}{PN}$，得出FN=$\frac{x（4-x）}{y}$，PN=$\frac{4（4-x）}{y}$，根据题意得出方程组，解方程组即可．

解答 解：如图所示
设DM=x，DN=y，则AM=4-x，
根据题意得：四边形MNPQ≌矩形BCFE，
∴△AMQ≌△FPN，PN=FC，MN=BC=4，∠MNO=∠PFN=∠D=90°，
∴AM=FP=4-x，∠DMN=∠PNF，
∴△DMN∽△FNP，
∴$\frac{DM}{FN}=\frac{DN}{PF}=\frac{MN}{PN}$，
即$\frac{x}{FN}=\frac{y}{4-x}=\frac{4}{PN}$，
∴FN=$\frac{x（4-x）}{y}$，PN=$\frac{4（4-x）}{y}$，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=16}\\{y+\frac{x（4-x）}{y}+\frac{4（4-x）}{y}=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{7}}\\{y=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴DM=$\sqrt{7}$；
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、方程组的解法等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似，根据题意得出方程组是解决问题的关键．