Question

9．已知抛物线y₁=ax²+bx+c对称轴是直线l，顶点为M，若自变量x的函数值y₁的部分对应值如表所示

x	…	-1	1	3	…
y1=ax2+bx+c	…	0	3	0	…

（1）求y₁与x之间的函数关系式；
（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记作P（x，y₂）
①用含x和t的代数式表示y₂；
②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y₁＜y₂恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意抛物线与x轴交于点（-1，0），（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把（1，3）代入求出a即可．
（2）先根据（I）中y₁与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标．
①记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥l，再由点P（x，y₂）可知点A（x，t）（x≠1），所以PM=PA=|y₂-t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y₂），故QM=|y₂-3|，PQ=AC=|x-1|，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y₂与x之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y₂与x之间的函数关系式；
②根据题意，借助函数图象：当抛物线y₂开口方向向上时，可知6-2t＞0，即t＜3时，抛物线y₁的顶点M（1，3），抛物线y₂的顶点（1，$\frac{t+3}{2}$），由于3＞$\frac{t+3}{2}$，所以不合题意，当抛物线y₂开口方向向下时，6-2t＜0，即t＞3时，求出y₁-y₂的值；若3t-11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，只要抛物线方向及顶点（1，$\frac{3-t}{2}$）在x轴下方，因为3-t＜0，只要3t-11＞0，解得t＞$\frac{11}{3}$，符合题意；若3t-11=0，y₁-y₂=-$\frac{1}{3}$＜0，即t=$\frac{11}{3}$也符合题意．

解答 解：（1）由题意抛物线与x轴交于点（-1，0），（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（1，3）代入得到a=-$\frac{3}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3），
即y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$．

（2））∵y₁=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$，
∴y₁=-$\frac{3}{4}$（x-1）²+3，
∴直线l为x=1，顶点M（1，3）．
①由题意得，t≠3，
如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A与点C不重合时，
∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，
∴四边形ABMP为菱形，
∴PA∥l，
又∵点P（x，y₂），
∴点A（x，t）（x≠1），
∴PM=PA=|y₂-t|，
过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y₂），
∴QM=|y₂-3|，PQ=AC=|x-1|，
在Rt△PQM中，
∵PM²=QM²+PQ²，即（y₂-t）²=（y₂-3）²+（x-1）²，整理得，y₂=$\frac{1}{6-2t}$（x-1）²+$\frac{t+3}{2}$，
即y₂=$\frac{1}{6-2t}$x²-$\frac{1}{3-t}$x+$\frac{10-{t}^{2}}{6-2t}$，
∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，
∴P（1，$\frac{t+3}{2}$），
∴P点坐标也满足上式，
∴y₂与x之间的函数关系式为y₂=$\frac{1}{6-2t}$x²-$\frac{1}{3-t}$x+$\frac{10-{t}^{2}}{6-2t}$（t≠3）；

②根据题意，借助函数图象：
当抛物线y₂开口方向向上时，6-2t＞0，即t＜3时，抛物线y₁的顶点M（1，3），抛物线y₂的顶点（1，$\frac{t+3}{2}$），
∵3＞$\frac{t+3}{2}$，
∴不合题意，
当抛物线y₂开口方向向下时，6-2t＜0，即t＞3时，
y₁-y₂=-$\frac{3}{4}$（x-1）²+3-[$\frac{1}{6-2t}$（x-1）²+$\frac{t+3}{2}$]
=$\frac{3t-11}{4（3-t）}$（x-1）²+$\frac{3-t}{2}$，
若3t-11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，
只要抛物线y=$\frac{3t-11}{4（3-t）}$（x-1）²+$\frac{3-t}{2}$开口方向向下，且顶点（1，$\frac{3-t}{2}$）在x轴下方，
∵3-t＜0，只要3t-11＞0，解得t＞$\frac{11}{3}$，符合题意；
若3t-11=0，y₁-y₂=-$\frac{1}{3}$＜0，即t=$\frac{11}{3}$也符合题意．
综上，可以使y₁＜y₂恒成立的t的取值范围是t≥$\frac{11}{3}$．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用．