Question

15．如图，AB=AC=5，BC=8，∠DAC=90°，则BD的长为$\frac{7}{4}$，AD=$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E．根据等腰三角形三线合一的性质得出BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=4，利用勾股定理求出AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=3．再设DE=x，在Rt△DAC与Rt△DAE中，根据勾股定理得到AD²=DC²-AC²=DE²+AE²，即（x+4）²-5²=x²+3²，解方程求出x的值，进而求解即可．

解答 解：如图，作AE⊥BC于E．
∵AB=AC，AE⊥BC于E，BC=8，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
设DE=x，则BD=4-x，DC=x+4．
在Rt△DAC中，∵∠DAC=90°，
∴AD²=DC²-AC²，
在Rt△DAE中，∵∠DEA=90°，
∴AD²=DE²+AE²，
∴DC²-AC²=DE²+AE²，
即（x+4）²-5²=x²+3²，
解得x=$\frac{9}{4}$，
∴BD=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
AD²=（$\frac{9}{4}$）²+3²=$\frac{225}{16}$，AD=$\frac{15}{4}$．
故答案为$\frac{7}{4}$，$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了勾股定理，根据勾股定理得出DC²-AC²=DE²+AE²是解题的关键．