Question

用一根长度为100cm的细绳围成一个矩形．
（1）当矩形的面积为525cm²时，求矩形的长和宽；
（2）能围成面积为639cm²的矩形吗？若能，求出矩形的长和宽，若不能，说明理由；
（3）能用它围成的矩形面积的最大值是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用,一元二次方程的应用

专题：几何图形问题

分析：（1）设矩形的长为xcm，则宽为：（50-x）cm，利用长乘宽=矩形面积，进而求出即可；
（2）设矩形的长为xcm，则宽为：（50-x）cm，利用长乘宽=矩形面积，结合△的符号进而求出即可；
（3）利用二次函数最值求法进而求出即可．

解答：解：（1）设矩形的长为xcm，则宽为：（50-x）cm，根据题意得出：
x（50-x）=525，
解得：x₁=15，x₂=35．
答：矩形的长为35cm，宽为15cm；

（2）不能围成面积为639cm²的矩形．
理由：设矩形的长为xcm，则宽为：（50-x）cm，根据题意得出：
x（50-x）=639，
整理得出：x²-50x+639=0
∵b²-4ac=2500-4×1×639=-56＜0，
∴此方程无实数根，
故不能围成面积为639cm²的矩形；

（3）设围成的矩形面积为：y，根据题意得出：
y=x（50-x）=-x²+50x=-（x²-50x）=-（x-25）²+625，
故能用它围成的矩形面积的最大值是：625cm²．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和二次函数最值求法，得出矩形面积与长乘宽的关系是解题关键．