如图.已知直线l1:y=-2x+8与两坐标轴分别相交于A.B两点.与直线l2:y=2x相交于点C.点P为x轴上的一个动点.过点P的直线.l3∥l2.且与l1相交于点D．(1)求点C的坐标,(2)若点P从点O向点A以每秒1个单位长度的速度匀速运动.设运动时间为t秒.△PCD的面积为S.求S的最大值,(3)是否存在点P.使得△PCA为等腰三角形?若存在.请求出点P的坐标,若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

如图，已知直线l₁：y=-2x+8与两坐标轴分别相交于A、B两点，与直线l₂：y=2x相交于点C，点P为x轴上的一个动点，过点P的直线，l₃∥l₂，且与l₁相交于点D．
（1）求点C的坐标；
（2）若点P从点O向点A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒，△PCD的面积为S，求S的最大值；
（3）是否存在点P，使得△PCA为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据直线l₁、l₂的解析式来求交点C的坐标；
（2）设出P坐标，根据l₃∥l₂，设出直线l₃的解析式，确定出直线l₃的解析式，联立表示出D坐标，表示出AP，由S=S_△APC-S_△APD，由图形与坐标的关系列出S关于t的二次函数关系，利用二次函数图象的性质来求其最值；
（3）存在点P，使得△PCA为等腰三角形，分三种情况讨论：①PC=AC；②AC=AP；③PC=AP，分别求出P坐标即可．

解答解：（1）依题意得 $\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=2x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
则点C的坐标是（2，4）；

（2）设P坐标为（t，0）（0≤t≤4），
∵由直线l₂的解析式是y=2x，l₃∥l₂，
∴设直线l₃的解析式为：y=2x+b，
把P坐标代入得：2t+b=0，即b=-2t，
∴直线l₃：y=2x-2t，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=2x-2t}\end{array}\right.$，
解得：x=2+$\frac{1}{2}$t，y=4-t，
∴D（2+$\frac{1}{2}$t，4-t），
∴AP=4-t，
∴S=S_△APC-S_△APD=$\frac{1}{2}$AP•|y_C|-$\frac{1}{2}$AP•|y_D|=$\frac{1}{2}$×（4-t）×[4-（4-t）]=-$\frac{1}{2}$t²+2t=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+2，
则当t=2时，S有最大值，最大值为2；

（3）由（2）得：P（t，0），D（2+$\frac{1}{2}$t，4-t），
∴AP²=（t-4）²，PC²=（t-2）²+16，AC²=20，
若△ACP为等腰三角形时，
①PC=AC，即（t-2）²+16=20，即t²-t=0，
解得：t=0或t=4（舍去），
此时P₁（0，0）；
②AC=AP时，即（t-4）²=20，
解得：t=4±2$\sqrt{5}$，
此时P₂（4+2$\sqrt{5}$，0），P₃（4-2$\sqrt{5}$，0）；
③PC=AP时，（t-4）²=（t-2）²+16，
解得：t=-1，
此时P₄（-1，0），
综上，存在P坐标为（0，0）或（4+2$\sqrt{5}$，0）或（4-2$\sqrt{5}$，0）或（-1，0），使△PCA为等腰三角形．