Question

12．如图，平面直角坐标系中，一次函数y=2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是直线AB上的一点，它的坐标为（m，4），经过点C作直线CD∥x轴交y轴于点D．
（1）求点C的坐标及线段AB的长；
（2）已知点P是直线CD上一点．
请从A、B两个题目中任选一题作答．
A．①若△POC的面积为4，求点P的坐标；
②若△POC上直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．
B．①若△PAB的面积为6，求点P的坐标；
②若△PAB是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把（m，4）代入y=2x+6得2m+6=4，即可求出点C坐标，求出A、B两点坐标，利用两点间距离公式即可求出AB的长．
（2）A：①利用三角形的面积公式求出PC的长即可解决问题．注意两解．
②分两种情形讨论即可①P是直角顶点，②O是直角顶点．
B：①利用三角形的面积公式求出PC的长即可解决问题．
②利用两圆一线可得满足条件的点有5个，分别求解即可．

解答 解：（1）把（m，4）代入y=2x+6得2m+6=4，
∴m=-1，
∴C（-1，4），
在Rt△AOB中，OA=3，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．

（2）A：①∵OD⊥CP，
∴S_△POC=$\frac{1}{2}$•CP•OD=4，
∵OD=4，CP=2，
∴P₁（-3，4），P₂（1，4）．

②∵∠OCP一定不是直角，
∴当∠OPC=90°时，点P恰好在点D，
∴P₁（0，4）．
∵直线OC的解析式为y=-4x，
∴直线OP的解析式为y=$\frac{1}{4}$x，
∴y=4时，x=16，
∴P₂（16，4）．

B：①∵OB⊥CP，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$•CP•OB=6，
∵OB=6，
∴CP=2，
∴P₁（-3，4），P₂（1，4）．

②如图，由图中的两圆一些线可知满足条件的点P坐标为P₁（-$\sqrt{29}$-3，4），P₂（$\sqrt{29}$-3，4），P₃（-$\frac{7}{2}$，4），P₄（$\sqrt{41}$，4），P₅（-$\sqrt{41}$，0）．

点评 本题考查一次函数综合题、两直线的位置关系、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理．线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．