Question

6．如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，交OM于点D．
（1）求证：MO∥BC；
（2）若DM=2，AC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质可知OM⊥MP，结合条件可证得MO⊥AC，由圆周角定理可求得∠BCA=90°，则可证得BC∥OM；
（2）连接OC，设半径为r，则可知OC=OM=r，由垂径定理可求得CD，在Rt△COD中，利用勾股定理可列方程，可求得圆的半径．

解答 （1）证明：
∵MP切⊙O于点M，
∴OM⊥MP，
∵AC∥MP，
∴OM⊥AC，
∴∠ODA=90°，
∵AB是直径，
∴∠BCA=90°，
∴MO∥BC；
（2）解：
连结OC，设⊙O的半径为r，则OC=OM=r．

∵OM⊥AC，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=3，OD=OM-DM=r-2，
在Rt△OCD中，OC²=OD²+CD²，即r²=（r-2）²+3²，
解得，r=$\frac{13}{4}$，即⊙O的半径为$\frac{13}{4}$．

点评 本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．