Question

19．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交与点C，⊙O′为△ABC的外接圆．
（1）求圆心O′的坐标；
（2）求⊙O′与抛物线的第四个交点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0得到A（-1，0），B（4，0），则计算自变量为0时的函数值得到C点坐标，再利用勾股定理的逆定理可证明△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，则根据圆周角定理的推论可判断AB为△ABC的外接圆的直径，写出AB的中点坐标即可得到圆心O′的坐标；
（2）利用圆和抛物线的对称性可判断⊙O′与抛物线的第四个交点D与点C关于直线x=1.5对称，于是可得到点D的坐标．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4，则A（-1，0），B（4，0），
当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2，则C（0，2），
∵AB=4-（-1）=5，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，即AB为⊙O′的直径，
∴圆心O′的坐标（1.5，0）；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1.5，
即点O′在直线x=1.5上，
∴⊙O′与抛物线的第四个交点D与点C关于直线x=1.5对称，如图，
∴D（3，2）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是判断△ACB为直角三角形．