Question

7．已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于点C，点F在抛物线上，且在第二象限，CE⊥OF于点E，连AC、AE．若AE=AC，求直线OF的解析式．

Answer 1

分析 由抛物线解析式求出A和C的坐标，由勾股定理得出AE=AC=3$\sqrt{2}$，设直线OF的解析式为y=kx，则直线CE的解析式为y=-kx+3，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}&{\;}\\{y=-kx+3}&{\;}\end{array}\right.$求出点E的坐标，作EM⊥x轴于M，由勾股定理得出方程，解方程求出k的值即可．

解答 解：∵y=-x²+2x+3，
当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得：x=3或x=-1，
∴点A的坐标为（3，0）；
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴AE=AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
设直线OF的解析式为y=kx，则直线CE的解析式为y=-kx+3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}&{\;}\\{y=-kx+3}&{\;}\end{array}\right.$得：x=$\frac{3}{2k}$，y=$\frac{3}{2}$，
∴点E坐标为（$\frac{3}{2k}$，$\frac{3}{2}$），
作EM⊥x轴于M，如图所示：
由勾股定理得：EM²+AM²=AE²，
即（$\frac{3}{2}$）²+（$\frac{3}{2k}$-3）²=（3$\sqrt{2}$）²，
解得：k=$\frac{-2-\sqrt{7}}{3}$或k=$\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$（舍去），
∴直线OF的解析式为y=$\frac{-2-\sqrt{7}}{3}$x．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、勾股定理、一次函数解析式的求法等知识；本题有一定难度，需要通过作辅助线运用勾股定理得出方程才能得出结果．