Question

13．在四边形ABCD中，AD=1，AB=7，BC=7，AD∥BC，∠ABC=90°，将线段DC绕点D逆时针转90°到线段DE，求线段AE的长度．（至少用两种方法）

Answer 1

分析 方法一：作DH⊥BC于H，EF⊥AD于F，如图1，易得四边形ABHD为矩形，得到BH=AD=1，DH=AB=7，则CH=BC-BH=6，再根据旋转的性质得∠CDE=90°，DC=DE，接着证明△DCH≌△DEF，所以CH=EF=6，DH=DF=7，AF=AD+DF=8，然后在Rt△AEF中利用勾股定理计算AE的长；
方法二：作CH⊥AD于H，EF⊥AD于F，如图2，易得四边形ABCH为矩形，得到AH=BC=7，CH=AB=7，则DH=AH-AD=6，再根据旋转的性质得∠CDE=90°，DC=DE，与方法一一样可证明△DCH≌△EDF得到CH=DF=7，DH=EF=6，AF=AD+DF=8，然后利用勾股定理计算AE的长．

解答 解：方法一：作DH⊥BC于H，EF⊥AD于F，如图1，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴BH=AD=1，DH=AB=7，
∴CH=BC-BH=6，
∵线段DC绕点D逆时针转90°到线段DE，
∴∠CDE=90°，DC=DE，
∴∠CDF+∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠CDH=90°，
∴∠CDH=∠EDF，
在△DCH和△DEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DHC=∠DFE}\\{∠CDH=∠EDF}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴△DCH≌△DEF，
∴CH=EF=6，DH=DF=7，
∴AF=AD+DF=8，
在Rt△AEF中，AE=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10；
方法二：作CH⊥AD于H，EF⊥AD于F，如图2，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AH=BC=7，CH=AB=7，
∴DH=AH-AD=6，
∵线段DC绕点D逆时针转90°到线段DE，
∴∠CDE=90°，DC=DE，
与方法一一样可证明△DCH≌△EDF，
∴CH=DF=7，DH=EF=6，
∴AF=AD+DF=8，
在Rt△AEF中，AE=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是构建全等三角形证明线段相等．