Question

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到点B落在边AC上，则边AB在旋转过程中，所扫过的区域面积是$\frac{11}{12}π$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 证明△BCD是等边三角形，得出BD=BC=1，得出AD=BD，求出△ACD的面积，AB所扫过的区域面积=两个扇形的面积+△ACD的面积，即可求得答案．

解答 解：如图所示：
∵∠ACB=90°，AB=2BC=2，
∴∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
又∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=1，
∴AD=AB-BD=2-1=1，
∴AD=BD，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴边AB所扫过的图形面积=$\frac{60×π×{1}^{2}}{360}$+$\frac{90×π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{11}{12}π$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{11}{12}π$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了旋转的性质、扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识．此题有一定难度，根据题意画出图形，得出AB所扫过的图形面积=两个扇形的面积+△ACD的面积是解决问题的关键．