题目内容
9．
如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为y轴上一点，且B是线段OC的中点．（1）求直线AC的解析式；
（2）动点P从点A出发，沿射线AO方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，运动时间为t，过点P作垂直于x轴的直线L分别交射线AB和射线AC于点E和点F，设线段EF的长d（d≠0），求d与t的函数关系式，并直接写出相应的自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点B和点C分别作x轴的平等线m和n，连接PB并延长PB交直线n于点Q，点R为直线m上的任意一点，是否存在t值，使△PQR以PR为底边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，并求出此时点R的坐标，若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据直线AB的解析式求出点A、B的坐标，结合点B是线段OC的中点即可求出点C的坐标，再根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）根据点P的运动规律找出点P的坐标，由此即可得出点E、F的坐标，进而即可得出d与t的函数关系式，再根据t为运动时间即可得出t的取值范围；
（3）假设存在，过点P作PM⊥n于点M，过点R作PN⊥n于点N，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算即可证出△PQM≌△QRN，从而可得出关于t的一元一次方程，解之求出t值，进而可求出点R的坐标．
解答 解：（1）令y=$\frac{1}{2}$x+2中x=0，则y=2，
∴B（0，2）；
令y=$\frac{1}{2}$x+2中y=0，则x=-4，
∴A（-4，0）．
∵B是线段OC的中点，
∴C（0，4）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（-4，0）、C（0，4）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直线AC的解析式为y=x+4．
（2）依照题意画出图形，如图1所示．
∵动点P从点A出发，沿射线AO方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，运动时间为t，
∴P（2t-4，0），
∵点E在直线AB上，点F在直线AC上，且PF⊥x轴，
∴E（2t-4，t），F（2t-4，2t），
∴d=EF=2t-t=t．
∴d与t的函数关系式为d=t（t≥0）．
（3）假设存在，过点P作PM⊥n于点M，过点R作PN⊥n于点N，如图所示．
∵点的坐标为（2t-4，0），
∴点Q的坐标为（4-2t，4），
∴QM=|（4-2t）-（2t-4）|．
∵△PQR以PR为底边的等腰直角三角形，
∴PQ=RQ，∠PQR=90°，
∴∠PQM=90°-∠RQN=∠QRN．
在△PQM和△QRN中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N=90°}\\{∠PQM=∠QRN}\\{PQ=QR}\end{array}\right.$，
∴△PQM≌△QRN，
∴QM=RN，PM=QN，
∴QM=2，QN=4，
即|（4-2t）-（2t-4）|=2，解得：t=1.5或t=2.5，
当t=1.5秒时，点R的坐标为（1+4，2），即（5，2）；
由对称行可得出当t=2.5时，点R的坐标为（-1-4，2），即（-5，2）．
∴存在t值，使△PQR以PR为底边的等腰直角三角形，此时t为1.5秒或2.5秒，点R的坐标为（5，2）或（-5，2）．
点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线AC的解析式；（2）用含时间t的代数式表示出点E、F的坐标；（3）根据等腰直角三角形的性质求出t值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
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