Question

如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交边AB于F，连FC，下列结论不正确的是（　　）

• A、AB≥AE
• B、△AEF∽△DCE
• C、△AEF∽△ECF
• D、△AEF与△BFC不可能相似

Answer 1

考点：相似三角形的判定,矩形的性质

专题：常规题型

分析：利用等角的余角相等得到∠AFE=∠DEC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到Rt△AEF∽Rt△DCE，由相似的性质得CD：AE=DE：AF，而CD=AB，DE=AE，则AB：AE=AE：AF，即AE²=AB•AF，利用AF≤AB，得到AB≥AE；再利用Rt△AEF∽Rt△DCE得到EF：EC=AF：DE，把DE=AE代入得到EF：EC=AF：AE，根据比例性质得EF：AF=EC：AE，加上∠A=∠FEC=90°，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到△AEF∽△ECF；由∠EFC≠90°可判断△AEF∽△BFC相似不成立，而当∠AFE=∠BFC时，可判断△AEF∽△BCF．

解答：解：∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴Rt△AEF∽Rt△DCE；
∴CD：AE=DE：AF，
∵E为矩形ABCD的边AD的中点，
∴CD=AB，DE=AE，
∴AB：AE=AE：AF，即AE²=AB•AF，
而AF≤AB，
∴AB≥AE；
∵Rt△AEF∽Rt△DCE，
∴EF：EC=AF：DE，
而DE=AE，
∴EF：EC=AF：AE，即EF：AF=EC：AE，
∵∠A=∠FEC=90°，
∴△AEF∽△ECF；
∵∠EFC≠90°，
∴△AEF∽△BFC相似不成立，
但当∠AFE=∠BFC时，△AEF∽△BCF．
故选D．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．