Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）．

（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为　　，点C的坐标为　　；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是　　；

（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN，，）

Answer 1

【答案】（1）D（1，0），C（0，﹣1）；0＜n≤；（2）EC=+，AM+BM+CM的最小值为+

【解析】

（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，根据正方形的性质得到OA＝OB＝OC＝OD，由点B（1，0），A（0，1），于是得到D（1，0），C（0，1）；过N作NH⊥BD于h，根据旋转的性质得到∠NBH＝60°，BM＝BN，求得NH＝BN＝t，于是得到结论；
（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由旋转的性质得到BM＝BN，∠NBM＝60°，求得△BMN是等边三角形，求得MN＝BM，根据等边三角形的性质得到BE＝BA，∠ABE＝60°，求得∠ABM＝∠EBN，根据全等三角形的性质得到AM＝EN，求得AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM，当E，N，M，C在同一直线上时，AM＋BM＋CN的最小值是CE的长，利用勾股定理即可得到结论．

解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∵点B（﹣1，0），A（0，1），

∴D（1，0），C（0，﹣1）；

过N作NH⊥BD于h，

∴∠NHB＝90°，

∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，

∴∠NBH＝60°，BM＝BN，

∴NH＝BN＝t，

∵0＜t≤2，

∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；

（2）如图2所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，

由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，

∴△BMN是等边三角形，

∴MN＝BM，

∵△ABE是等边三角形，

∴BE＝BA，∠ABE＝60°，

∴∠ABM＝∠EBN，

∴△ABM≌△EBN（SAS），

∴AM＝EN，

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，

∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，

又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，

∴∠EBH＝30°，

∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，

∴BH＝＝＝，

∴CH＝2+，

∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；

∴AM+BM+CM的最小值为+．