Question

17．如图，已知△ABC是正三角形，点D是边BC上一点，连接AD，点E是线段AD上一点，连接CE，点F是△ABC外一点，∠CAD=∠CBF，连接BF和CF．
（1）如果AE=BF，试说明∠ECF=60°；
（2）如果∠ECF=60°，那么AE=BF吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）易证△AEC≌△BFC得到∠ACE=∠BCF，因为∠ACE+∠BCE=60°，所以∠BCF+∠BCE=60°，即∠ECF=60°；
（2）AE=BF．由∠ECF=∠BCA=60°，得∠ACE=∠BCF，又AC=BC，∠CAD=∠CBF可证明△AEC≌△BFC，所以AE=BF．

解答 解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴AC=BC，
在△AEC和△BFC中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAD=∠CBF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BFC，
∴∠ACE=∠BCF，
∵∠ACE+∠BCE=60°，
∴∠BCF+∠BCE=60°，
即∠ECF=60°；
（2）AE=BF．
理由：∵∠ECF=∠BCA=60°，
∴∠ACE=∠BCF，
在△AEC和△BFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBF}\\{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCF}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△BFC，
∴AE=BF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，熟练的掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．