Question

14．如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，动点D在边BC上移动（不与点B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE，当线段OE的长度取得最小值时，点E的纵坐标为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 设D点坐标为（x，1），0＜x＜1，E（1，y），根据勾股定理列出关于x的等式即可求解．

解答 解：设D点坐标为（x，1），
∵动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），
∴0＜x＜1，
∵DE⊥OD，
∴OD²+DE²=OE²，
∴x²+1+（x-1）²+（y-1）²=1+y²，
解得：y=x²-x+1，
∴1+y²=1+（x²-x+1）²=1+[（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]²，
当x=$\frac{1}{2}$时，线段OE取得最小值，
最小值为：OE=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$=$\frac{5}{4}$=1.25，
∴AE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{A}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
故选C．

点评 本题主要考查了正方形的性质，二次函数的最值，勾股定理，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．