Question

4．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，如果PA=10，那么△PDE的周长是20．若∠P=5O°，那么∠DOE=65°．

Answer 1

分析 根据切线长定理得DA=DC，EB=EC，PA=PB=10，则利用等线段代换可得到△PDE的周长=2PA=20；连结OA、OB、OC，如图，根据切线长定理得∠PAO=∠PBO=90°，则利用四边形内角和可计算出∠AOB=130°，然后利用DA=DC，EC=EB，根据角平分线的性质定理的逆定理可判断OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，易得∠DOC+∠EOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB=65°，即∠DOE=65°．

解答 解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，
∴DA=DC，EB=EC，PA=PB=10，
∴△PDE的周长=PD+PE+DE=PD+DC+PE+CE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=10+10=20；
连结OA、OB、OC，如图，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=180°-∠P=180°-50°=130°，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
而DA=DC，EC=EB，
∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠DOC+∠EOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×130°=65°，
即∠DOE=65°．
故答案为20，65°．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了切线长定理．