Question

15．如图，已知点A（-3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、…则第11个三角形的直角顶点的坐标为（$\frac{216}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

Answer 1

分析 先根据勾股定理计算出AB=5，再求出第②个图的直角顶点的坐标，由于11=3×3+2，则可判断第11个三角形与第②个三角形的直角顶点的纵坐标相同，且第11个三角形的直角顶点的横坐标为3×（3+5+4）+4+$\frac{16}{5}$，于是可确定第11个三角形的直角顶点的坐标．

解答 解：∵点A（-3，0）、B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
在第②个三角形中，如图，作DH⊥x轴于H，
EF=AB=5，DE=OB=4，DF=3，
∵$\frac{1}{2}$DH•EF=$\frac{1}{2}$DE•DF，
∴DH=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴EH=$\sqrt{D{E}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∵11=3×3+2，
∴第11个三角形与第②个三角形的直角顶点的纵坐标相同，都是$\frac{12}{5}$，
第11个三角形的直角顶点的横坐标为3（3+5+4）+4+$\frac{16}{5}$=$\frac{216}{5}$，
即第11个三角形的直角顶点的坐标为（$\frac{216}{5}$，$\frac{12}{5}$）．
故答案为（$\frac{216}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．