Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若AD+AC=24，BD+BC=20，∠ABE=40°，求△BEC的周长和∠EBC的度数．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：根据线段垂直平分线的定义可得AD=BD=

1

2

AB，然后求出AC、BC的值，再根据线段垂直平分线上的点到两端点距离相等可得AE=BE，然后求出△BEC的周长=AC+BC，根据等边对等角可得∠A=∠ABE，再根据等腰三角形的性质求出∠ABC，然后根据∠EBC=∠ABC-∠ABE代入数据计算即可得解．

解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=

1

2

AB，
∵AD+AC=24，
∴AD=

1

1+2

×24=8，AC=

2

1+2

×24=16，
∵BD+BC=20，
∴BC=12，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BEC的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∴△BEC的周长=16+12=28；
∵∠ABE=40°，AE=BE，
∴∠A=∠ABE=40°，
∴∠ABC=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（180°-40°）=70°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=70°-40°=30°．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．