Question

1．如图，M为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，AC=4，MD交AC于F，交BC延长线于D，ME交BC于G，交AC延长线于E，且AF=3，∠DMG=45°．
（1）写出图中的三对相似三角形．
（2）连接FG，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求得两组相等的角，即可判定三角形相似；
（2）根据△AMF∽△BGM，对应边成比例求得BG，进而求得CG，然后根据勾股定理即可求得FG．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠DMG=45°，
∴∠D=∠DMG，
∵∠DGM=45°+∠BMG=∠DMB，
∴△DMG∽△DBM，
∵∠A=∠EMF=45°，∠AMF=45°+∠AMF=∠MFE，
∴△EMF∽△EAM，
∵∠A=∠B=45°，∠DGM=∠DMB，
∴∠MGB=∠AMF，
∴△AMF∽△BGM；
故相似的三角形有：△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，△AMF∽△BGM；
（2）∵AC=4，AF=3，
∴AB=4$\sqrt{2}$，CF=4-3=1，
∵M为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，
∴AM=BM=2$\sqrt{2}$，
∵△AMF∽△BGM，
∴$\frac{BG}{AM}$=$\frac{BM}{AF}$，
∴BG=$\frac{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴CG=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，
在RT△FCG中，FG=$\sqrt{C{F}^{2}+C{G}^{2}}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．