Question

10．如图，反比例函数y=$\frac{n}{x}$（n为常数，n≠0）的图象与一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象在第一象限内交于点C（2，m），一次函数y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点．已知tan∠ABO=$\frac{2}{3}$，AB=2$\sqrt{13}$．
（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上且使得△PCD面积为△ABO面积的3倍，求满足条件的P点坐标．

Answer 1

分析 （1）设OA=2x，则OB=3x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程（2x）²+（3x）²=（2$\sqrt{13}$）²，解方程得出OA=2x=4，OB=3x=6，得出A（-4，0），B（0，6）；由待定系数法求出一次函数解析式；求出C（2，9），代入反比例函数y=$\frac{n}{x}$求出n=18，得出反比例函数解析式即可；
（2）求出△ABO的面积=12，得出△PCD的面积=36，解方程组求出点D（-6，-3），设点P的横坐标为x，分两种情况：①当点P在点A的右侧时；②当点P在点A的左侧时；由△PCD的面积=△APD的面积+△APC的面积得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
∴设OA=2x，则OB=3x，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：（2x）²+（3x）²=（2$\sqrt{13}$）²，
解得：x=±2（负值舍去），
∴OA=2x=4，OB=3x=6，
∴A（-4，0），B（0，6）；
代入一次函数y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得•：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+6；
把点C（2，m）代入得：m=9，
∴C（2，9），
代入反比例函数y=$\frac{n}{x}$得：n=2×9=18，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{18}{x}$；
（2）∵△ABO的面积=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×4×6=12，△PCD面积为△ABO面积的3倍，
∴△PCD的面积=3×12=36，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+6}\\{y=\frac{18}{x}}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴D（-6，-3），
设点P的横坐标为x，
分两种情况：①当点P在点A的右侧时，
△PCD的面积=△APD的面积+△APC的面积=$\frac{1}{2}$（x+4）×3+$\frac{1}{2}$（x+4）×9=36，
解得：x=2，
∴点P的坐标为（2，0）；
②当点P在点A的左侧时，
△PCD的面积=△APD的面积+△APC的面积=$\frac{1}{2}$（-4-x）×3+$\frac{1}{2}$（-4-x）×9=36，
解得：x=-10，
∴点P的坐标为（-10，0）；
综上所述：点P的坐标为（2，0）或（-10，0）．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点、用待定系数法求函数解析式、三角函数、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握勾股定理，求出点A和B的坐标是解决问题的关键；注意（2）中要分类讨论．